ВсОШ 2022, 9 класс, задача 3

Средняя
Планиметрия
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2022, 9 класс

( баллов) Точка — точка пересечения биссектрис треугольника . На стороне отметили точку . Оказалось, что , , .

Рисунок к задаче 9.3

(а) ( балла) Сколько градусов составляет угол ?

(б) ( балла) Сколько градусов составляет угол ?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ:

(а) ( балла) .

(б) ( балла) .

Решение. (а) Заметим, что треугольники и равны ( — общая сторона, , по условию; рис. ). Тогда , и треугольник — равнобедренный. Следовательно,

Рисунок к задаче 9.3

(б) Получается, что , т. е. . Осталось найти углы и .

1

Верное решение пункта (а).

2
2

Верное решение пункта (б).

2
Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2025, 10 класс, задача 6

(4 баллов) Дан четырёхугольник ABCD, причём AD=BC, angle DAC=97circ, angle CBD=83circ и angle BCD=65circ. Найдите angle ACD (ответ дайте в градусах).
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 6

(4 баллов) Дан треугольник ABC, точка M — середина стороны BC. Пусть ell — биссектриса внешнего угла A треугольника ABC. Прямая, проходящая через M и параллельная ell, пересекает сторону AB в точке K. Найдите длину отрезка AK, если AB=23 и AC=8. Рисунок к задаче 9.6
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2022, 8 класс, задача 7

(4 баллов) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом A. Квадрат KLMN расположен, как на рисунке: точки K, L, N лежат на сторонах AB, BC, AC соответственно, а точка M расположена внутри треугольника ABC. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AK=7, AN=3. Рисунок к задаче 8
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 6

(4 баллов) Дана трапеция ABCD. Отрезки AB и CD — её боковые стороны — равны 24 и 10 соответственно. На стороне AB отмечены точки X и Y так, что AX=6, XY=8, YB=10. Известно, что расстояния от точек X и Y до прямой CD равны 23 и 27 соответственно. Рисунок к задаче 10.6 (а) (1 балл) Найдите площадь тре
Средняя
Планиметрия