ВсОШ 2022, 8 класс, задача 8
( баллов) В ряд встали гномов: Весельчак, Ворчун, Простачок, Скромник, Соня, Умник и Чихун. На каждом из них кофта с первой буквой его имени и колпак. У некоторых из них сегодня плохое настроение, и они при любой просьбе делают всё наоборот (остальные гномы делают то, что их попросят).
Белоснежка попросила снять колпак тех, рядом с которыми стоит хотя бы один гном с плохим настроением. Получилось так, как изображено на следующем рисунке: колпак сняли все гномы.
Удивившись, Белоснежка переставила гномов, всем надела колпаки и повторила свою просьбу. Получилось так, как изображено на следующем рисунке: колпак снял только Простачок.
У кого из гномов сегодня плохое настроение?
Ответ
Ответ: Скромник, Соня и Чихун.
Решение. Рассмотрим Простачка во второй ситуации. Если у него плохое настроение, то он снял колпак, так как у его соседей хорошее настроение. Но при этом его соседи колпаки не сняли. Противоречие, следовательно, у Простачка в этот день хорошее настроение.
Посмотрим на тройку гномов слева от Простачка во второй ситуации.
- Если у центрального гнома (из этих троих) хорошее настроение, то раз он не снял колпак, то и у его соседей тоже хорошее настроение.
- Если у центрального гнома (из этих троих) плохое настроение, то раз он не снял колпак, то и у хотя бы одного его соседа тоже плохое настроение.
Аналогичные рассуждения выполняются и для правой тройки гномов. Таким образом, в каждой из этих троек у всех гномов одинаковое настроение. То есть плохое настроение либо у , либо у , либо у гномов.
Теперь рассмотрим первую ситуацию. Так как все гномы сняли колпаки, то у кого-то из них точно плохое настроение, поэтому случай с гномов с плохим настроением отпадает. Если же у гномов плохое настроение, то какие-то два из них в первой ситуации стоят рядом, чего быть не может, так как они оба сняли колпаки.
Методом исключения мы понимаем, что ровно у гномов плохое настроение. Теперь осталось лишь заметить, что Весельчак и Ворчун в первой ситуации стоят рядом, поэтому у них не может быть одновременно плохое настроение. Таким образом, в первой тройке гномов во второй ситуации у всех хорошее настроение.
Следовательно, плохое настроение у Скромника, Сони и Чихуна.
Верное решение.