ВсОШ 2025, 7 класс, задача 7
( баллов) У Егора есть таблица . Назовём крестом какой-то клетки все клеток из объединения её строки и столбца. Егор выбрал несколько клеток в этой таблице. После чего он написал в каждой клетке таблицы, сколько выбранных им клеток содержится в кресте этой клетки. В результате получилась такая таблица:
(б) Найдите координаты загаданных клеток.
Ответ
Ответ: б) , , , , .
Решение. (б) Заметим, что первый и второй столбцы отличаются ровно в местах: на больше чем , а на меньше, чем . Обозначим за количество закрашенных клеток среди ; — среди , , ; — среди ; — среди ; — среди , , ; — среди . Поскольку число в на больше числа в , то на больше, чем (части в строке одинаковые, а отличие идёт за счёт частей — и —). Аналогично, за счёт того, что на больше чем , получаем, что на меньше, чем .
Значит, и . Если вычесть из второго уравнения первое, получим . Но и , причём равенство достигается только если , , , . Таким образом, мы получаем, что клетки и задуманы, а и — нет.
Абсолютно аналогичные рассуждения можно проделать с первым и третьим столбцом и получить, что — тоже задуманная клетка. Далее посмотрим на и столбцы. Они отличаются тем, что на меньше чем , а на больше, чем . Применяя аналогичное рассуждение получаем, что в находится загаданная клетка. Далее то же самое применяем к столбцам и и клеткам , , , . Получаем, что загадана. Таким образом, мы нашли все загаданных клеток. Можно убедиться, что для них таблица с числами будет выглядеть именно так.
Верное решение.