ВсОШ 2022, 11 класс, задача 8
( баллов) В каждой клетке полоски стоит либо плюс, либо минус. Ваня умеет совершать следующую операцию: выбрать любые три клетки (не обязательно последовательные), одна из которых находится ровно посередине между двумя другими клетками, и поменять три знака в этих клетках на противоположные. Число назовём позитивным, если из расстановки из минусов Ваня такими операциями может получить расстановку из плюсов.
Рассмотрим числа , , , , . Сколько среди них позитивных?
Ответ
Ответ: .
Решение. Докажем, что позитивными являются все рассматриваемые числа, кроме и . Тогда ответом в задаче будет являться .
Для каждого пронумеруем клетки полоски слева направо числами от до .
- Пусть . Применив операцию к клеткам с номерами , сразу получаем расстановку из одних плюсов.
- Пусть . Применив операции к клеткам с номерами и к клеткам с номерами , сразу получаем расстановку из одних плюсов.
- Пусть . Применив операции к клеткам с номерами , к клеткам с номерами и к клеткам с номерами , сразу получаем расстановку из одних плюсов.
- Пусть . Применив операции к клеткам с номерами , к клеткам с номерами и так далее, можно добиться того, чтобы плюсы стояли во всех клетках полоски, кроме, возможно, клеток с номерами и . Если в клетке с номером стоит минус, применим операции к клеткам с номерами , , , получим, что во всех клетках с номерами от до включительно стоят плюсы. Если в клетке с номером стоит минус, применим операции к клеткам с номерами , , . Итак, мы добились расстановки из одних плюсов.
- Пусть . Операции можно применять только к клеткам с номерами или . Ясно, что таким образом мы можем получать только расстановки , , , , и расстановку из одних плюсов получить невозможно.
- Пусть . Операции можно применять только к клеткам с номерами , , , . Заметим, что в клетках с номерами , , всегда находится суммарно нечётное количество минусов, поэтому расстановку из одних плюсов получить невозможно.
14
Верное решение.
Максимум: 4