ВсОШ 2022, 8 класс, задача 3
( баллов) В ряд лежат шариков, каждый из которых либо красный, либо зелёный, либо синий. Известно, что
- есть хотя бы один красный, хотя бы один зелёный и хотя бы один синий шарик;
- слева от каждого синего шарика лежит красный шарик;
- справа от каждого зелёного шарика лежит красный шарик.
(а) ( балл) Какое наибольшее количество красных шариков может лежать в ряду?
(б) ( балла) Какое наименьшее количество красных шариков может лежать в ряду?
Ответ
Ответ:
(а) ( балл) .
(б) ( балла) .
Решение. (а) Среди шариков есть хотя бы зелёный и хотя бы синий, поэтому красных шариков не более . Заметим также, что их может быть ровно , если самый левый шарик — синий, самый правый шарик — зелёный, а все шариков между ними — красные.
(б) Предположим, найдутся подряд идущих шарика, среди которых нет красных шариков. Если средний шарик из них — синий, то слева от него лежит не красный, а если средний шарик — зелёный, то справа от него лежит не красный. Противоречие, следовательно, среди любых подряд идущих шариков есть хотя бы красный.
Предположим, среди двух самых левых шариков нет ни одного красного. Если самый левый шарик из них — зелёный, то слева от него нет красного шарика, а если самый левый шарик — синий, то справа от него не красный. Противоречие, следовательно, среди самых левых шариков есть хотя бы красный. Аналогично среди самых правых шариков есть хотя бы красный.
Все шарики, кроме двух самых левых и двух самых правых, разбиваются на тройку подряд идущих. Следовательно, всего красных шариков не меньше .
Ровно красных шарика может быть, например, так: КСЗКСЗКСЗ...КСЗК.
Верное решение пункта (а).
Верное решение пункта (б).