ВсОШ 2022, 10 класс, задача 5
( баллов) Несколько сладкоежек приняли участие в состязании по поеданию конфет. Каждый участник съел целое количество конфет, причём любые два участника съели разное количество конфет. Подводя итоги состязания, жюри упорядочило всех людей по убыванию количества съеденных конфет (например, победитель съел больше всего конфет, а человек, занявший последнее место, съел меньше всего конфет).
Известно, что:
- победитель съел в раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые;
- участник, занявший третье место, съел в раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые;
- участник, занявший последнее место, съел в раз меньше, чем все остальные участники вместе взятые.
Сколько сладкоежек участвовало в состязании?
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть всего было сладкоежек, и суммарно они съели конфет. Из условия следует, что победитель съел конфет, человек на третьем месте — конфет, человек на последнем месте — конфет.
Все участники, кроме последнего, съели больше конфет. Значит, , откуда получаем , то есть .
Человек на втором месте съел менее конфет, а все участники на местах с третьего по -е съели не более конфет. Значит, , откуда получаем .
Поэтому , то есть . Значит, .
Также для можно привести пример. Пусть -й сладкоежка съел конфеты, -й — конфеты, -й — конфет, с -го по -го — с по конфет соответственно (суммарно съедено конфет). Несложно проверить, что все условия задачи выполняются.
Верное решение.