ВсОШ 2025, 10 класс, задача 4
( баллов) Приведённые квадратные трёхчлены и таковы, что каждое из чисел , , , , , является корнем одного из трёхчленов , , . Чему равно ?
Напомним, что квадратный трёхчлен называется приведённым, если .
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть , а . Тогда по теореме Виета сумма корней равна , а сумма корней равна . Трёхчлен имеет вид , его сумма корней равна , т.е. в раза меньше, чем сумма корней и . Значит, сумма корней составляет от общей суммы корней всех трёх трёхчленов. По условию она равна , т.е. сумма корней равна . Число можно набрать единственным способом — , т.е. корнями и являются и .
Поскольку у первый коэффициент равен , то по теореме Виета второй коэффициент будет равен , а третий будет равен . Значит, , откуда .
14
Верное решение.
Максимум: 4