ВсОШ 2022, 11 класс, задача 7
( баллов) Все вершины правильного тетраэдра находятся по одну сторону от плоскости . Оказалось, что проекции вершин тетраэдра на плоскость являются вершинами некоторого квадрата. Найдите значение величины , если известно, что расстояния от точек и до плоскости равны и соответственно.
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть , , , — проекции точек , , , на плоскость . Пусть — середина отрезка , — середина отрезка (рис. ). Проекции точек и на плоскость являются серединами отрезков и , то есть совпадают. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости . Также она перпендикулярна прямой (отрезки и равны как медианы равных треугольников и , поэтому медиана равнобедренного треугольника также является его высотой), поэтому . Значит, — прямоугольник и .
Пусть сторона квадрата равна , тогда по теореме Пифагора . Опустим перпендикуляр на прямую . Ясно, что — прямоугольник, поэтому и . Также . По теореме Пифагора для треугольника имеем . Следовательно,
откуда находим . Тогда .
Верное решение.