ВсОШ 2023, 11 класс, задача 4
( баллов) На горизонтальном полу лежат три волейбольных мяча радиусом , попарно касающиеся друг друга. Сверху положили теннисный мяч радиусом , касающийся всех трёх волейбольных мячей. Найдите расстояние от верхней точки теннисного мяча до пола. (Все мячи имеют форму шара.)
Ответ
Ответ: .
Решение. Центры волейбольных мячей обозначим через , , , а центр теннисного — через ; верхнюю точку теннисного мяча обозначим через .
Рассмотрим сечение волейбольных мячей плоскостью (рис. ). Это три попарно касающиеся окружности радиусом . Следовательно, точки , , расположены в вершинах правильного треугольника со стороной . Центр этого треугольника обозначим за ; тогда (из прямоугольного треугольника , где — середина ).
Из соображений симметрии ясно, что точки , и лежат на одной вертикальной прямой. Рассмотрим сечение теннисного мяча и одного из волейбольных плоскостью (рис. ). Треугольник прямоугольный, , по теореме Пифагора имеем
Сама точка , как и вся плоскость , находится на высоте радиуса волейбольного мяча, то есть ; точка , как мы выяснили, выше неё на ; а точка выше точки на радиус теннисного мяча, то есть на . В сумме получаем .
Верное решение.