ВсОШ 2026, 7 класс, задача 2

Сложная
Планиметрия
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2026, 7 класс

( баллов) Петя на клетчатой плоскости нарисовал по клеткам два прямоугольника. У одного из них стороны равны и , а у другого стороны равны и . Оказалось, что площадь их пересечения равна . Чему может быть равен периметр их объединения? Укажите все возможные варианты ответа.

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: ; .

Решение. Заметим, что, как бы прямоугольники ни располагались, периметр объединения фигур всегда будет равен суммарному периметру фигур, из которого вычли периметр пересечения.

Заметим, что пересечение клетчатых прямоугольников всегда будет являться клетчатым прямоугольником, и поскольку его площадь равна , то это либо прямоугольник , либо прямоугольник , либо .

Заметим, что прямоугольник не может лежать внутри исходных прямоугольников, поэтому такой случай невозможен.

Таким образом, периметр объединения может быть равен либо , либо .

Наконец, глядя на рисунок , заметим, что каждый из этих вариантов возможен.

Рис. 1

1

Верное решение.

7
Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2026, 8 класс, задача 6

(7 баллов) Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. На его стороне AB отметили точку X так, что угол angle ABC=4angle ACX. Точка M — середина стороны AC. Найдите длину отрезка BX, если известно, что BC=53, BM=40.
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2024, 8 класс, задача 4

(4 баллов) В треугольнике ABC с углом B, равным 60circ, проведены биссектрисы AY и CX. На отрезках AX и CY отмечены точки K и N так, что KNparallel AC. Прямая KN пересекает отрезки CX и AY в точках L и M соответственно. Оказалось, что KL=LM=MN. Известно, что KN=9. Рисунок к задаче 8.4 (а)
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 5

(4 баллов) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором AB=BD. На отрезке BD выбрали точку K так, что ADparallel KC. Описанная окружность треугольника KDC пересекает отрезок BC в точке L. Известно, что angle ABD=48circ и angle CBD=13circ. Сколько градусов составляет угол BAL?
Сложная
Планиметрия

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 4

(4 баллов) Дан параллелограмм ABCD, точка M — середина стороны BC. На стороне AD нашлась точка K такая, что BK=BM и четырёхугольник KBMD является вписанным. (а) (2 балла) Чему равна длина отрезка MD, если AD=17? (б) (2 балла) Сколько градусов составляет угол KMD, если angle BAD=46circ? Ри
Сложная
Планиметрия