ВсОШ 2023, 10 класс, задача 4
( баллов) Дан параллелограмм , точка — середина стороны . На стороне нашлась точка такая, что и четырёхугольник является вписанным.
(а) ( балла) Чему равна длина отрезка , если ?
(б) ( балла) Сколько градусов составляет угол , если ?
Ответ
Ответ: (а) ; (б) .
Решение. (а) Заметим, что — вписанная трапеция, поэтому она равнобокая, т. е. . Отсюда
(б) Так как , угол — прямой (как известно, если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из прямого угла). Из того, что , следует, что угол — тоже прямой (рис. ).
Отсюда , а из вписанности четырёхугольника следует, что .
Кроме того, из параллельности следует, что , а из равнобедренности треугольника — что .
Получаем
Верное решение пункта (а).
Верное решение пункта (б).