ВсОШ 2023, 9 класс, задача 3

Средняя
Теория чисел
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2023, 9 класс

( баллов) Натуральные числа и таковы, что делится на и делится на .

(а) ( балл) Укажите любое возможное значение .

(б) ( балла) Чему может быть равно ? Укажите все возможные варианты.

Ответ

Ответ: (а) любое из чисел , , , ; (б) , , , .

Решение. Поскольку — простое число, а — натуральное число, большее , получаем, что . Значит, и .

Из условия следует, что число является делителем числа . Поскольку — натуральное число, большее и меньшее , получаем, что может равняться одному из значений , , , .

  • Пусть . Тогда и .
  • Пусть . Тогда и .
  • Пусть . Тогда и .
  • Пусть . Тогда и .

Легко проверить, что все пары , , , подходят под условие.

1

Верное решение пункта (а).

1
2

Верное решение пункта (б).

3
Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 1

(4 баллов) Для натурального числа a произведение 1 · 2 · 3 · ldots · a обозначается как a!. (а) (2 балла) Найдите наименьшее натуральное число m такое, что m! делится на 23m. (б) (2 балла) Найдите наименьшее натуральное число n такое, что n! делится на 33n.
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2023, 10 класс, задача 1

(4 баллов) (а) (2 балла) Натуральное число n меньше 120. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на n? (б) (2 балла) Натуральное число n меньше 90. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на n?
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2025, 9 класс, задача 6

(4 баллов) Простое число p таково, что числа 15p-15 и 16p-15 являются точными квадратами. Чему может быть равно p? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2024, 8 класс, задача 6

(4 баллов) На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 включительно. Назовём выписанное число особенным, если сумма всех остальных выписанных чисел делится на него. (а) (2 балла) Найдите наибольшее особенное число. (б) (2 балла) Сколько всего особенных чисел на доске?
Средняя
Теория чисел