ВсОШ 2023, муниципальный этап, 9 класс, задача 3
( баллов) Натуральные числа и таковы, что делится на и делится на .
(а) ( балл) Укажите любое возможное значение .
(б) ( балла) Чему может быть равно ? Укажите все возможные варианты.
Ответ
Ответ: (а) любое из чисел , , , ; (б) , , , .
Решение. Поскольку — простое число, а — натуральное число, большее , получаем, что . Значит, и .
Из условия следует, что число является делителем числа . Поскольку — натуральное число, большее и меньшее , получаем, что может равняться одному из значений , , , .
- Пусть . Тогда и .
- Пусть . Тогда и .
- Пусть . Тогда и .
- Пусть . Тогда и .
Легко проверить, что все пары , , , подходят под условие.