ВсОШ 2023, 10 класс, задача 8
( баллов) Дан треугольник . Пусть точка — центр его вписанной окружности, а точки и — середины сторон и соответственно. Оказалось, что . Найдите длину отрезка , если и .
Ответ
Ответ: .
Решение. Из условия следует, что . Кроме того, отметим, что как средняя линия треугольника.
Проведём к вписанной окружности треугольника касательную, параллельную отрезку . Обозначим через и точки пересечения этой касательной со сторонами и соответственно (рис. ). Поскольку в трапецию вписана окружность с центром , то точка является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этой трапеции. Так как , то . Тогда , откуда . Аналогично . Тогда
Ясно, что если отрезок находится выше отрезка , то и , а если ниже, то и . В обоих этих случаях полученное равенство невозможно. Следовательно, точки и совпадают с точками и , т. е. четырёхугольник является описанной трапецией.
Заметим, что и , а также . Значит, по свойству описанного четырёхугольника
откуда и получаем .
Верное решение.