ВсОШ 2023, 10 класс, задача 6
( баллов) Пару натуральных чисел назовём хорошей, если число делится на , причём .
(а) ( балл) Укажите любое возможное значение , для которого пара — хорошая.
(б) ( балла) Найдите количество хороших пар, для которых — простое число, меньшее .
Ответ
Ответ: (а) любое из чисел , , ; (б) .
Решение. Так как , а , условие делимости равносильно тому, что делится на . Заметим, что делится на , поэтому должно делиться на натуральное число , т. е. является делителем . Так как — простое число, то у числа есть всего натуральных делителя: , и . Тогда для любого простого есть ровно варианта для числа : это , и (очевидно, каждое из этих чисел больше ).
(а) При получаем , , .
(б) Найдём количество простых чисел, меньших . Их ровно : это , , , , , , , . Значит, всего хороших пар .
Верное решение пункта (а).
Верное решение пункта (б).