ВсОШ 2023, 7 класс, задача 6
( баллов) На плоскости отметили точки , , , , так, что треугольники и равны: , , . Затем с чертежа стёрли точку и подписи точек , и .
Пусть точка имела координаты .
(а) ( балл) Укажите любое возможное значение величины .
(б) ( балла) Укажите все возможные значения величины .
Ответ
Ответ: (а) любое из чисел , , ; (б) , , .
Решение. Из условия следует, что и — это две самые правые отмеченные точки (в неизвестном порядке). Оставшаяся неподписанная точка — это .
Случай 1. Пусть точка находится сверху, а точка — снизу (рис. а). Ясно, что для точки есть два варианта:
- точка с координатами ;
- точка с координатами .
Случай 2. Пусть точка находится внизу, а точка — сверху. Ясно, что для точки есть два варианта:
- точка с координатами ;
- точка с координатами .
Осталось лишь заметить, что точки и совпадают, поэтому есть ровно три возможных расположения точки , а именно , и . Соответственно, произведение координат точки может принимать ровно три значения: , и .
Верное решение пункта (а).
Верное решение пункта (б).