ВсОШ 2023, 11 класс, задача 8

Ответ: (а) ; (б) .

Решение. (а) Заметим, что если , а , то данная в условии система равенств выполнена, а равно . С другой стороны,

Значит, наименьшее значение выражения равно .

(б) Будем пользоваться формулой . Домножим первое равенство на , а второе — на , получим

Сложив эти два уравнения, получим , откуда при следует, что . Осталось выяснить, что будет, если .

В случае оба равенства в системе одинаковы, а максимизировать нужно выражение . Случай уже рассмотрен в предыдущем пункте, поэтому дальше будем рассматривать . Пусть для некоторого действительного . Тогда из условия имеем и .

Заметим, что

Следовательно,

Ясно, что это значение достигается, если , .

Другое решение пункта (б). Выделим в левых частях данных равенств полные квадраты:

Из того, что и неотрицательны, следует, что и . Значит, и .

Оценим искомое выражение:

Тем самым искомое выражение не превосходит , причём достигается это значение при и .

Ещё решение. Отметим на плоскости точку и проведем через неё три координатные прямые , , под углами друг к другу (рис. а). Считая началом координат на каждой из прямых, отметим на них точки , , соответственно с координатами, равными данным числам , , .

Заметим, что . Действительно, в случае это просто теорема косинусов для треугольника со сторонами и и углом между ними. Но это равенство сохраняется и в остальных случаях. Например, при и (рис. б) имеем и , откуда

Аналогично получаем и . Теперь нетрудно переформулировать исходную задачу:

На трёх прямых, пересекающихся в одной точке под углами друг к другу, отмечены точки , , соответственно (возможно, совпадающие). Дано ; нужно найти наименьшее и наибольшее возможное значение .

(а) Ясно, что наименьшее значение — это , которое достигается при (рис. а).

(б) С другой стороны, из неравенства треугольника имеем , что достигается, если точки , , находятся на одной прямой (рис. б).