ВсОШ 2025, 10 класс, задача 8
( баллов) Функция определена на множестве натуральных чисел и принимает натуральные значения. Известно, что для любого натурального выполнено и .
(а) Найдите .
(б) Найдите .
Ответ
Ответ: а)
б) .
Решение. (а) Из первого условия получаем, что если , то , поскольку можно записать цепочку .
Заметим, что из условия можно понять, что . Действительно, пусть . Тогда получаем , противоречие с тем, что .
Пусть . Из предыдущего получаем, что . При этом , откуда . Значит, . Отсюда . Тогда . Заметим, что и располагаются между и , т.е. между и . Значит, единственная возможность это и .
Тогда , отсюда . Кроме того, . Снова можно понять, что и должны располагаться между и , т.е. и .
(б) Докажем индукцией по , что , где и , где . База для была получена в пункте а). Пусть формулы верны для чисел от до . Докажем формулы для чисел от от до .
По предположению . Тогда . Тогда . Заметим, что между и лежит ровно число, и между значениями функции в этих точках и тоже лежит ровно число. Так как функция принимает только натуральные значения и строго возрастает, значит каждое следующее значение ровно на единицу больше предыдущего, и на этом промежутке верна формула . Но тогда для всех таких , что верно . Таким образом, переход доказан.
Теперь найдем ответ. По формуле .
Верное решение.