ВсОШ 2026, муниципальный этап, 10 класс, задача 8

( баллов) Вычислите сумму

если для всех от до выполнено, что .

Ответ

Ответ: .

Решение. Заметим, что

Откуда следует, что

Рассмотрев слагаемых кроме последнего, заметим что они разбиваются на пар для и , и их сумма равна . Прибавляя последнее слагаемое, которое равно , получаем ответ .

Верное решение.

Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2025, муниципальный этап, 10 класс, задача 8

(4 баллов) Функция f(x) определена на множестве натуральных чисел и принимает натуральные значения. Известно, что для любого натурального n выполнено f(n+1)>f(n) и f(f(n))=3n. (а) Найдите f(10). (б) Найдите f(2024).

Очень сложная

Алгебра

ВсОШ 2025, муниципальный этап, 11 класс, задача 7

(4 баллов) Обозначим α положительный корень квадратного трёхчлена x²+x-5. Многочлен P(x) имеет целые неотрицательные коэффициенты, и P(α)=49. (а) Найдите наименьший возможный свободный член многочлена P. (б) Найдите наименьшую возможную сумму коэффициентов многочлена P.

Очень сложная

Алгебра

ВсОШ 2026, муниципальный этап, 11 класс, задача 6

(7 баллов) Функции f(x) и g(x) определены на множестве действительных значений и принимают действительные значения. Также известно, что f(x) и g(x) взаимно обратны, при этом значения функций f(x) и frac12x во всех точках отличаются меньше чем на 5. Уравнение g(x)=25-x² имеет целый корень.

Очень сложная

Алгебра

ВсОШ 2023, муниципальный этап, 11 класс, задача 8

(4 баллов) Действительные числа a, b, c таковы, что (а) (1 балл) Какое наименьшее значение может принимать выражение c²+ca+a²? (б) (3 балла) Какое наибольшее значение может принимать выражение c²+ca+a²?

Очень сложная

Алгебра