ВсОШ 2025, 11 класс, задача 7
( баллов) Обозначим положительный корень квадратного трёхчлена . Многочлен имеет целые неотрицательные коэффициенты, и .
(а) Найдите наименьший возможный свободный член многочлена .
(б) Найдите наименьшую возможную сумму коэффициентов многочлена .
Ответ
Ответ: а)
б) .
Решение. Поделим многочлен с остатком на трёхчлен :
Степень многочлена не превосходит , а поскольку коэффициенты являются целыми, то коэффициенты также целые. Предположим, что многочлен не постоянный, то есть имеет вид , где . Подставим в равенство (1) и получим . Число равно и потому иррационально. Значит, с одной стороны число также иррационально, а с другой стороны, оно равно , и мы пришли к противоречию. Таким образом, является постоянным многочленом, равным .
(а) Достаточно заметить, что если многочлен имеет вид
то свободный член многочлена равен . По условию он неотрицателен, поэтому его значение не меньше , и этот пример достигается при (в этом случае ).
(б) Предположим, что имеет минимально возможную сумму коэффициентов. Представим его в виде
Если для хотя бы один из коэффициентов строго больше , то нетрудно видеть, что многочлен также подходит под условие и имеет меньшую сумму коэффициентов. Значит, все коэффициенты многочлена не превосходят . Вооружившись этим наблюдением, поочерёдно найдём коэффициенты многочлена , двигаясь от меньших степеней к большим.
Итак, свободный член многочлена равен и не превосходит , значит, и . Коэффициент при многочлена равен и не превосходит , значит, и . Коэффициент при многочлена равен и не превосходит , значит, и . Коэффициент при многочлена равен и не превосходит , значит, и и . Наконец, Коэффициент при многочлен равен и не превосходит , значит, и . Итак, мы доказали, что если удовлетворяют условию и имеет наименьшую сумму коэффициентов, то , , , , . Легко видеть, что многочлен
подходит под условие задачи (в этом случае ). Таким образом, ответом на задачу является число .
Верное решение.