ВсОШ 2023, 11 класс, задача 8
(4 баллов) Действительные числа a, b, c таковы, что (а) (1 балл) Какое наименьшее значение может принимать выражение c2+ca+a2? (б) (3 балла) Какое наибольшее значение может принимать выражение c2+ca+a2?ВсОШ 2025, 10 класс, задача 8
(4 баллов) Функция f(x) определена на множестве натуральных чисел и принимает натуральные значения. Известно, что для любого натурального n выполнено f(n+1)>f(n) и f(f(n))=3n. (а) Найдите f(10). (б) Найдите f(2024).ВсОШ 2026, 11 класс, задача 6
(7 баллов) Функции f(x) и g(x) определены на множестве действительных значений и принимают действительные значения. Также известно, что f(x) и g(x) взаимно обратны, при этом значения функций f(x) и frac12x во всех точках отличаются меньше чем на 5. Уравнение g(x)=25-x2 имеет целый корень.ВсОШ 2025, 11 класс, задача 7
(4 баллов) Обозначим α положительный корень квадратного трёхчлена x2+x-5. Многочлен P(x) имеет целые неотрицательные коэффициенты, и P(α)=49. (а) Найдите наименьший возможный свободный член многочлена P. (б) Найдите наименьшую возможную сумму коэффициентов многочлена P.
