ВсОШ 2023, 11 класс, задача 7

Ответ: (а) ; (б) , , .

Решение. (а) Заметим, что кратно любому из чисел , , , . Это означает, что числа , , , можно представить в виде , , , , где , , , — различные натуральные числа. Поскольку , получаем, что . Отсюда ясно, что , так как оно больше каких-то различных натуральных чисел.

При этом значение достигается, например, в случае

(б) Аналогично пункту (а) можно понять, что наименьшее значение равно , при этом оно может достигаться только в случае, если , , , .

Заметим, что числа , , , являются делителями числа , т. е. должно делиться на все натуральные числа от до . Таким образом, .

Чтобы найти НОК чисел от до , нужно для каждого простого числа понять, на какую его максимальную степень делятся эти числа. Для такая степень равна (); для она равна (); для и она равна . Таким образом,

Отсюда получаем, что

Среди чисел от до нужный вид имеют ровно числа: , , . Все они удовлетворяют условию задачи.