ВсОШ 2026, 8 класс, задача 2
( баллов) На доске написано . За одно действие разрешается либо поменять местами две соседние цифры в этой записи, либо заменить число, образованное двумя соседними цифрами, на число на меньше, если оно неотрицательное. При этом в записи могут появиться нули в начале.
Так, например, если бы на доске было написано число , за первый ход можно было бы получить записи , , , , .
(а) ( балла) Запись какого наименьшего числа можно получить (возможно, с нулями в начале)?
(б) ( баллов) Запись какого наибольшего числа можно получить (возможно, с нулями в начале)?
Ответ
Ответ: а) , б) .
Решение. (а) Заметим, что при каждой операции остаток от деления на у числа не изменяется. Изначально он равен , поэтому итоговое число будет не меньше . При этом можно получить следующим образом:
.
(б) Заметим, что сумма цифр числа не увеличивается. Действительно, при первой операции сумма цифр не изменяется. При второй операции либо первая цифра уменьшается на , а вторая увеличивается на , либо первая цифра не изменяется, а вторая уменьшается на , т.е. сумма цифр либо не изменяется, либо уменьшается на . Таким образом, сумма цифр конечного числа не может быть больше , т.е. оно не может быть больше .
Чтобы этого добиться, можно получить как в прошлом пункте, а затем сделать .
Верное решение.