ВсОШ 2025, 8 класс, задача 6
( баллов) У Пети есть три палочки, длины которых равны см, см и см. Известно, что числа , и натуральные, различные, и . Петя смог сложить из своих палочек треугольник.
(б) Пусть . Какой периметр мог быть у этого треугольника? Укажите все варианты в любом порядке.
Ответ
Ответ: б) , , .
Решение. Поскольку , то в разложении одна из степеней вхождения двойки или тройки меньше чем у (чтобы не делилось на ), а другая больше (чтобы выполнялось ). При этом понятно, что , иначе и нарушается неравенство треугольника.
Пусть в тройка входит в степени . Тогда . Поскольку , . Значит, единственный вариант в этом случае это , , . Периметр равен .
Пусть в тройка входит в степени . Тогда . При будет , а при будет . Значит, единственный вариант это , , . Периметр при этом равен .
Пусть в тройка входит в степени . Тогда . При будет , а при будет . Значит, единственный вариант это , , . Периметр при этом равен .
Если же в тройка входит в степени , то , противоречие. Во второй степени тройка в входить не может, т.к. тогда будет делиться на или будет меньше .
Таким образом, всего возможны варианта: , , .
Верное решение.