ВсОШ 2025, 11 класс, задача 5
( баллов) (а) Назовём натуральное число привлекательным, если равенство
не выполняется ни для какого натурального . Напомним, что обозначает целую часть числа . Найдите наименьшее привлекательное число.
(б) Найдите количество привлекательных чисел, не превосходящих .
Ответ
Ответ: а)
б) .
Решение. а) Заметим, что при имеет место неравенство
В самом деле, домножим обе части неравенства на и воспользуемся цепочкой неравенств .
Значит, при увеличении на единицу значение функции либо не изменится, либо уменьшится на . Так как , то любое натуральное число, не превосходящее , не является привлекательным. Заметим теперь, что число является привлекательным. В самом деле,
Таким образом, ответ на пункт (а) равен .
(б) Как мы уже выяснили в предыдущем пункте, функция из условия принимает все натуральные значения, не превосходящие . Так как при имеет место неравенство
то при уменьшении на единицу значение функции строго увеличится. Значит, при натуральных значения функция из условия принимает различных значений. Таким образом, функция из условия принимает натуральных значений, каждое из которых не превосходит . Ответ на пункт (б) равен .
Верное решение.