ВсОШ 2025, 8 класс, задача 5
( баллов) У Пети есть три палочки, длины которых равны см, см и см. Известно, что числа , и натуральные, различные, и . Петя смог сложить из своих палочек треугольник.
(а) Какой наименьший периметр мог быть у этого треугольника?
Ответ
Ответ: а) .
Решение. (а) Без ограничения общности можно считать, что . Тогда из равенства следует, что . Если делится на , то , что противоречит неравенству треугольника, значит не может делиться на . Поэтому не может являться степенью простого числа, иначе делится на .
Наименьшее число, не являющееся степенью простого числа — это . В этом случае . Единственный делитель числа , больший и не делящийся на — это . Тогда , , , т.е. неравенство треугольника выполнено. В этом случае получаем периметр .
Следующее подходящее число для — это , но при , . Значит, наименьший периметр треугольника у Пети — это .
Верное решение.