ВсОШ 2026, 7 класс, задача 3

Сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2026, 7 класс

( баллов) Петя взял все натуральные числа от до , возвел их в квадрат и для каждого квадрата написал на доске его последнюю цифру. Чему равна сумма чисел на доске?

Ответ

Ответ: .

Решение. Запишем последние цифры числа для некоторых первых значений :


Последняя цифра

Заметим, что последняя цифра числа будет зависеть только от последней цифры числа , поэтому эта таблица будет повторяться с шагом . Сумма чисел в каждом промежутке длины равна .

В числах от до поместится полных десятка и еще первые его цифр. Тогда искомая сумма будет равна .

Верное решение.

Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 8

(4 баллов) Найдите сумму цифр числа 3 · underbrace{33ldots3}₁₀₀³+2 · underbrace{11ldots1}₁₀₀²+underbrace{55ldots5}₁₀₀²+underbrace{33ldots3}₁₀₀.

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2023, 11 класс, задача 7

(4 баллов) Пусть N — наименьшее общее кратное десяти различных натуральных чисел a₁2310. (а) (2 балла) Какое наименьшее значение может принимать N/a₃? (б) (2 балла) Укажите все возможные значения a₃ на отрезке [1;1000], для которых величина N/a

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2024, 9 класс, задача 3

(4 баллов) По кругу лежали n шариков, где 6≤ n≤100. Их перемешали и снова выложили по кругу так, что между каждыми двумя шариками, которые до этого были соседями, теперь лежат ровно 2 шарика. Сколько различных значений могло принимать n?

Сложная

Теория чисел

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 5

(2 баллов) У Пети есть три палочки, длины которых равны a см, b см и c см. Известно, что числа a, b и c натуральные, различные, и ac=b². Петя смог сложить из своих палочек треугольник. (а) Какой наименьший периметр мог быть у этого треугольника?

Сложная

Теория чисел