ВсОШ 2026, 9 класс, задача 5
( баллов) Объем аккумулятора рации — натуральное число условных единиц. На каждое включение рации тратится натуральное число у.е., и каждые минут работы рации отнимают некоторое натуральное число у.е. При выключении рации аккумулятор не расходуется. Известно, что если сеансы связи длятся по минут, то аккумулятор сядет во время -го сеанса, а если по минут — то во время -го. Найдите наименьший возможный заряд аккумулятора.
«Аккумулятор сел во время сеанса» означает, что сеанс связи начался, шел некоторое время, но аккумулятор сел до того момента, как сеанс успел закончиться.
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть — объем аккумулятора, на включение рации тратится у.е., а на минут работы — у.е. При -минутных сеансах аккумулятор сел во время -ого сеанса, т.е. . При -минутных сеансах — во время -ого сеанса, т.е. . Объединяя условия этих неравенств, получаем и , то есть . По условию — целые числа. Для в промежутках , , нет чисел, кратных , т.е. не найдется и подходящего . Для подходит . Возвращаясь к неравенствам на , получаем, что и . Т.к. — целое, то .
Следующая подходящая пара — , дает уже большее значение , как и все последующие.
Верное решение.