ВсОШ 2023, 9 класс, задача 4
( баллов) На доске нарисована пустая таблица . Маша хочет заполнить её клетки числами, руководствуясь следующими правилами:
- каждое из чисел , , , , должно присутствовать в таблице;
- в левой нижней клетке таблицы должно стоять число ;
- для любого натурального числа и должны стоять в соседних по стороне клетках.
(а) ( балл) Какое наибольшее число может стоять в клетке, соседней по стороне с числом ?
(б) ( балла) Назовём клетку таблицы хорошей, если в ней может оказаться число . Сколько всего хороших клеток?
Ответ
Ответ: (а) ; (б) .
Решение. Раскрасим таблицу в чёрный и белый цвета так, чтобы клетка, в которой должно стоять число , оказалась чёрной. Третье правило в условии означает, что последовательные числа в таблице стоят «змейкой», а цвета их клеток чередуются, то есть все нечётные числа, включая , тоже будут в клетках чёрного цвета.
(а) Мы уже поняли, что число в клетке, соседней с , оказаться не может. Докажем, что — может. Для этого достаточно привести подходящую расстановку чисел:
(б) Число может оказаться в любой чёрной клетке (в указанной выше раскраске), кроме той, в которой должно стоять число . Приведём серию соответствующих примеров.
Для верхней строки:
Для средней строки:
Для нижней строки:
Если исключить клетку с числом , то чёрных и белых клеток поровну (например, потому что любая «змейка» разбивается на пары соседних разноцветных клеток). Значит, хороших клеток ровно .
Верное решение пункта (а).
Верное решение пункта (б).