ВсОШ 2023, 9 класс, задача 1
( баллов) Ученики «А», «Б», «В» собрались на линейку. Марья Ивановна решила посчитать количество присутствующих из каждого класса. У неё получилось, что на линейке было учеников из «А», учеников из «Б» и учеников из «В». А Илья Григорьевич решил посчитать сразу общее количество присутствующих из всех трёх классов — у него получилось учеников.
Оказалось, что при подсчёте численности каждого класса Марья Ивановна ошиблась не более чем на . А при подсчёте общей численности Илья Григорьевич ошибся не более чем на .
Сколько учеников из «А» присутствовало на линейке?
Ответ
Ответ: .
Решение. Пусть , , — реальное количество учеников из «А», «Б», «В» соответственно. Из подсчётов Марьи Ивановны следует, что , , , а из подсчётов Ильи Григорьевича следует, что . Получаем, что
Отсюда следует, что все рассматриваемые неравенства должны обращаться в равенства, в частности .
Верное решение.