ВсОШ 2023, 8 класс, задача 6

Средняя
Теория чисел
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2023, 8 класс

( баллов) Натуральное число таково, что значение выражения является точным квадратом.

(а) ( балла) Укажите любое возможное значение .

(б) ( балла) Чему может быть равно ? Укажите все возможные варианты.

Ответ

Ответ: .

Решение. Пусть для некоторого натурального . Тогда

Числа и имеют одинаковую чётность, поэтому они оба должны быть чётны. Поскольку , имеем лишь два возможных случая.

  • Пусть и . Тогда и .
  • Пусть и . Тогда и .

Легко проверить, что обе эти пары подходят под условие.

1

Верное решение пункта (а).

2
2

Верное решение пункта (б).

2
Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2024, 11 класс, задача 3

(4 баллов) Назовём хорошей пару (a,b) натуральных чисел, лежащих на отрезке [100;240], если число sqrt a+sqrt b является целым. Сколько существует хороших пар?
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2024, 8 класс, задача 6

(4 баллов) На доске написаны все натуральные числа от 1 до 60 включительно. Назовём выписанное число особенным, если сумма всех остальных выписанных чисел делится на него. (а) (2 балла) Найдите наибольшее особенное число. (б) (2 балла) Сколько всего особенных чисел на доске?
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2024, 8 класс, задача 3

(4 баллов) Натуральное число k≤100 таково, что kk является точным квадратом. Сколько различных значений может принимать k?
Средняя
Теория чисел

ВсОШ 2022, 8 класс, задача 4

(4 баллов) Ваня выписал в ряд без пропусков друг за другом все натуральные числа от 1 до N в следующем порядке: 1 N 2 N-1 3 N-2 ldots Например, при N=5 получилось бы 15243, а при N=10 получилось бы 11029384756. При каком наименьшем N в такой записи встретится последовательность цифр 301?
Средняя
Теория чисел