ВсОШ 2025, 11 класс, задача 4
( баллов) В классе учится три человека, увлекающихся рисованием, четыре человека, увлекающихся шахматами, и пять человек, увлекающихся танцами (каждый ученик увлекается ровно одним занятием). Учитель хочет разбить всех детей по парам так, чтобы увлечения участников любой пары были различны. Сколькими способами он может это сделать?
Ответ
Ответ: .
Решение. Будем называть художниками людей, увлекающихся рисованием, шахматистами - людей, увлекающихся шахматами, и танцорами - людей, увлекающихся танцами.
Заметим, что при любом распределении по парам ровно одна из пар состоит из художника и шахматиста. В самом деле, если такой пары нет, то пяти танцоров не хватит, чтобы поставить их в пары с художниками и шахматистами. Если же, напротив, таких пар хотя бы две, то найдётся пара, состоящая из двух танцоров.
Таким образом, ровно одна пара состоит из шахматиста и художника (выбрать такую пару можно способами), а во всех оставшихся парах участвует ровно по одному танцору. Выбрать для каждого оставшегося шахматиста или художника своего танцора можно способами.
Значит, ответ на задачу равен .
Верное решение.