ВсОШ 2025, 10 класс, задача 3

Средняя
Планиметрия
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2025, 10 класс

( баллов) Два равных прямоугольника имеют общую вершину и наложены друг на друга как на рисунке.

Два наложенных прямоугольника

(а) Найдите вторую сторону прямоугольника.

(б) Найдите площадь закрашенной серым цветом части.

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: а)

б) .

Прямоугольники с обозначениями

Решение. (а) Обозначим прямоугольники и как на рисунке, а точку пересечения и через .

По теореме Пифагора, с одной стороны, , а с другой . Если обозначить вторую сторону прямоугольника через , то получаем , , , . Значит, , откуда , т.е. .

(б) Чтобы найти площадь закрашенной серым части, нужно из суммы площадей прямоугольников и вычесть удвоенную площадь . Площадь каждого из прямоугольников равна . Площадь можно вычислить как сумму площадей прямоугольных треугольников и .

Площадь треугольника равна . Площадь треугольника равна .

Получаем, что площадь закрашенной серым части равна .

1

Верное решение.

4
Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2022, 9 класс, задача 6

(4 баллов) Дан треугольник ABC, точка M — середина стороны BC. Пусть ell — биссектриса внешнего угла A треугольника ABC. Прямая, проходящая через M и параллельная ell, пересекает сторону AB в точке K. Найдите длину отрезка AK, если AB=23 и AC=8. Рисунок к задаче 9.6
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2022, 8 класс, задача 7

(4 баллов) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом A. Квадрат KLMN расположен, как на рисунке: точки K, L, N лежат на сторонах AB, BC, AC соответственно, а точка M расположена внутри треугольника ABC. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AK=7, AN=3. Рисунок к задаче 8
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2022, 10 класс, задача 6

(4 баллов) Дана трапеция ABCD. Отрезки AB и CD — её боковые стороны — равны 24 и 10 соответственно. На стороне AB отмечены точки X и Y так, что AX=6, XY=8, YB=10. Известно, что расстояния от точек X и Y до прямой CD равны 23 и 27 соответственно. Рисунок к задаче 10.6 (а) (1 балл) Найдите площадь тре
Средняя
Планиметрия

ВсОШ 2025, 7 класс, задача 3

(4 баллов) На прямой в некотором порядке расположены пять различных точек A, B, C, D и E. Известно, что AB=4, BC=7, CD=11, DE=16. Чему равно наименьшее возможное расстояние между A и E?
Средняя
Планиметрия