ВсОШ 2025, 11 класс, задача 6

Ответ:

а) Любое из чисел и .

б) .

Решение. (а) Докажем, что чётное число, не делящееся на , не является увлекательным. Предположим обратное и рассмотрим расстановку чисел в таблице, удовлетворяющую условиям задачи. Так как число чётно, таблицу можно разбить на не пересекающихся квадратиков , в каждом из которых сумма записанных чисел делится на . Значит, сумма всех чисел в таблице должна делиться на . С другой стороны, эта же сумма равна

что не делится на по предположению. Таким образом, чётное число, не делящееся на , не является увлекательным, и тем самым, в качестве ответа в пункте (а) подойдёт любое из чисел или .

(б) Докажем, что если число не даёт остаток при делении на , то оно является увлекательным. Достаточно привести пример расстановки. Вместо самих чисел будем расставлять их остатки от деления на .

Рассмотрим диагонали таблицы, идущие вправо-вниз. В каждой такой диагонали мы будем расставлять одинаковые диагонали (на рисунке ниже приведён пример для ). Остатки на соседних диагоналях отличаются на (по модулю ), а на главной диагонали (то есть ведущей из левого верхнего угла в правый нижний) стоят .

Несложно видеть, что числа в любом квадратике имеют следующий вид,

поэтому их сумма равна и делится на .

Осталось проверить, что каждый остаток встречается нужное число раз. Разберём случаи в зависимости от остатка, который даёт от деления на .

Если делится на , то не сложно видеть, что среди первых чисел в каждой строчке любой из остатков встречается одинаковое число раз. Из этого несложно заключить, что в таблице каждый остаток встречается одинаковое число раз.

Если даёт остаток от деления на , то есть имеет вид для целого неотрицательного , то найдётся ровно строчка, начинающаяся с единицы, и по строчек – начинающихся с других остатков. Поскольку в строчках, начинающихся с единицы, при рассматриваемых число единиц ровно на один больше количества любого другого остатка, то во всей таблицы остатки , и встречаются одинаковое число раз, а единица – ровно на раз больше. Нетрудно видеть, что это именно то, что нужно.

Наконец, если даёт остаток от деления на , то есть имеет вид для натурального , то найдётся ровно строчка, начинающаяся с двойки, и по строчек – начинающихся с других остатков. Поскольку при рассматриваемых в строке, начинающейся с двойки, число единиц ровно на один меньше количества любого другого остатка, то во всей таблице остатки , и встречаются одинаковое число раз, а единица – ровно на раз больше. Нетрудно видеть, что это именно то, что нужно.