ВсОШ 2024, 11 класс, задача 8

Очень сложная
Комбинаторика
Источник:
Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2024, 11 класс

( баллов) Есть поле, разделённое на две половины: левую и правую. Изначально на левой лежит камней, а на правой — камней. Юра и Яша играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Первым ходит Юра.

Игрок в свой ход должен переложить с одной половины поля на другую один или несколько камней, причём больше, чем соперник переложил на предыдущем ходу (первым ходом можно переложить любое количество камней, большее ). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

(а) ( балл) Какое наибольшее количество ходов может быть сделано в игре, если и ?

(б) ( балла) Рассмотрим все пары натуральных чисел такие, что и . Для скольких из них Юра имеет выигрышную стратегию? (Если числа и различны, то пары и считаются различными.)

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: (а) ; (б) .

1

Верное решение пункта (а).

1
2

Верное решение пункта (б).

3
Максимум: 4

Похожие задачи

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 6

(7 баллов) При каком наименьшем n во все клетки таблицы 4 × 10 можно расставить некоторые из чисел от 1 до n, каждое не более одного раза, так, чтобы любые два соседние по горизонтали или вертикали числа отличались хотя бы в 2 раза?
Очень сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 5

(7 баллов) Рассмотрим правильную десятиугольную призму A1A2ldots A10B1B2ldots B10. Найдите количество прямых, проходящих через две вершины этой призмы и скрещивающихся с диагональю A1B6.
Очень сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2025, 8 класс, задача 9

(4 баллов) Новая шахматная фигура гусь может ходить либо на одну клетку влево, либо на две клетки вправо и одну вверх, либо на две клетки вверх и одну вправо. Возможные ходы гуся, стоящего в клетке Г, отмечены на рисунке крестиками. Гусь бьёт так же, как и ходит. Возможные ходы гуся Несколько гусей
Очень сложная
Комбинаторика

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 3

(7 баллов) Петя случайно выбирает натуральное число d от 1 до 5 (вероятность выбрать каждое равна frac15). Затем Петя случайно выбирает натуральное число a от 1 до 1300 (вероятность выбрать каждое равна frac1{1300}). Найдите вероятность того, что один из членов арифметической прогрессии с первым чле
Очень сложная
Комбинаторика