ВсОШ 2025, 10 класс, задача 2
( баллов) Натуральное число назовём хорошим, если для него выполняются все следующие условия:
- В его десятичной записи все цифры ненулевые;
- Сумма его цифр равна ;
- Любая его цифра, кроме последних двух, является делителем суммы следующих за ней двух цифр.
Найдите наименьшее хорошее число.
Ответ
Ответ: .
Решение. Несложно проверить, что число удовлетворяет всем условиям. Докажем, что меньшего числа получиться не могло. Предположим, что это не так.
Поскольку у числа сумма цифр равна , то в нём хотя бы цифры. Если первая цифра не больше , то сумма оставшихся будет хотя бы , поэтому каждая цифра не меньше . Тогда сумма третьей и четвёртой цифры должны быть ровно в раза больше третьей цифры, поскольку и . Значит, сумма второй, третьей и четвёртой цифр должна делиться на , но это возможно только если первая цифра равна , или . Если первая цифра равна , то сумма цифр не больше , противоречие. Если первая цифра равна , то для суммы цифр остальные должны быть равны , но число не подходит. Значит, первая цифра равна .
Поскольку сумма второй и третьей цифр должна делиться на , то их сумма должна быть равна , а тогда последняя цифра равна . Получаем варианты , , , из которых подходит только .
Если же первая цифра равна , то число получится больше, чем , поэтому наименьшее хорошее число это .
Верное решение.