ВсОШ 2026, 7 класс, задача 7

Ответ: .

Решение. Пусть — общий знаменатель всех натуральных чисел от до . Т.к. и , то .

Рассмотрим произвольную дробь , . После приведения к знаменателю она стала равна . Имеем , . Если не делится на , то не делится или на , или на . В первом случае, учитывая, что делится на , делаем вывод, что должно делиться на . Во втором случае, учитывая опять же, что делится на , делаем вывод, что делится на . Таким образом, дроби, у которых после приведения к общему знаменателю числитель не будет делиться на , — это дроби, у которых знаменатель до приведения делился на или на . Посчитаем их количество. Первых , вторых . При этом одно число, , мы посчитали оба раза. Значит, ответ в задаче .