ВсОШ 2025, 7 класс, задача 5
( баллов) Маша, Даша и Саша загадали по числу от до , а затем сообщили эти числа друг другу. Оказалось, что все загаданные ребятами числа различны. После этого каждый из них произнёс по утверждению:
- Маша: «Сумма загаданных чисел делится на »
- Даша: «Если бы я могла загадывать числа больше , я бы загадала число в три раза больше, и тогда сумма загаданных увеличилась бы вдвое»
- Саша: «Все загаданные числа больше »
Напишите загаданные ими числа в любом порядке, если известно, что никто не из них не ошибся.
Ответ
Ответ: , , .
Решение. Поймём, что означает высказывание Даши. Пусть она загадала число , а сумма чисел Маши и Саши равна . Тогда если увеличить в три раза, сумма всех чисел станет равна , и она должна быть в два раза больше, чем . Получаем , откуда , т.е. число Даши равно сумме чисел Маши и Саши.
Таким образом, сумма всех чисел равна и она должна делиться на , откуда делится на . Поскольку все числа больше , то может быть равно , или .
Пусть . Тогда сумма чисел Маши и Саши равна , но оба их числа должны быть больше , противоречие.
Пусть . Тогда сумма чисел Маши и Саши равна . При этом оба их числа больше , что может быть только если они оба равны , но по условию все их числа различны, противоречие.
Значит, . Тогда сумма чисел Маши и Саши равна , причём они оба больше и различны. Это бывает только если они равны и . Значит, загаданные числа это , и .
Верное решение.