ВсОШ 2025, 7 класс, задача 8
( баллов) В лесу деревьев — хвойные, при этом ели составляют от числа хвойных деревьев.
(а) Какое наименьшее число деревьев может расти в таком лесу?
(б) На Новый год в лесу срубили несколько хвойных деревьев, и доля елей среди хвойных деревьев снизилась до . А какое наименьшее число деревьев могло расти в лесу до Нового года при таком дополнительном условии?
Ответ
Ответ: а) .
б) .
Решение. (а) Из условия получаем, что ели составляют
от общего числа деревьев. Поскольку дробь — несократимая, то количество деревьев должно делиться на , чтобы количество елей было целым числом. Наименьшее натуральное число, которое делится на — это . При этом деревьев могло быть, если из них хвойных, среди которых елей.
(б) Мы уже поняли, что количество деревьев должно делиться на . Поскольку после Нового года елей стало от количества хвойных деревьев, то в этот момент количество елей должно делиться на , а количество хвойных должно делиться на .
Предположим, что до Нового года было деревьев. Тогда среди них было елей. Но тогда после Нового года числа, кратного , стать не могло.
Предположим, что до Нового года деревьев было . Тогда среди них было хвойных, среди которых ели. Поскольку количество елей после Нового года стало кратно , то это может быть только если их стало ровно . При этом должны срубить одну ель. Но тогда количество хвойных деревьев уменьшилось и уже не может быть кратно .
При этом деревьев могло быть. Среди них было хвойных, среди которых ель. Потом срубили елей и других хвойных дерева. Елей стало , а всего хвойных деревьев , т.е. ели действительно теперь составляют от всех хвойных деревьев.
Верное решение.