ВсОШ 2025, 11 класс, задача 1
( баллов) В прямоугольном параллелепипеде все рёбра имеют целую длину (в сантиметрах). Петя выбрал одну из вершин параллелепипеда и посчитал площади трёх граней, содержащих эту вершину. Оказалось, что наибольшая из площадей равна , а наименьшая — . Обозначим площадь оставшейся грани. Найдите сумму всех возможных значений .
Ответ
Ответ: .
Решение. Обозначим длины рёбер параллелепипеда (в см). Тогда его грани имеют площади (в см). Значит, и . Таким образом, число является делителем числа , причём ввиду неравенств мы имеем и , откуда и . Выпишем подходящие под эти неравенства делители: , , . Прямая проверка показывает, что параллелепипеды с длинами рёбер , и действительно подходят под условие. Ответом на задачу является сумма .
Верное решение.