ВсОШ 2025, 11 класс, задача 8

Ответ: .

Решение. Отметим точки и — середины отрезков и соответственно. Треугольники и равны по трём сторонам, поэтому (это длины медиан к соответствующим сторонам в этих треугольниках). Отрезок является медианой в равнобедренном треугольнике , поэтому . Аналогично треугольники и равны по трём сторонам, поэтому , и значит, .

Обозначим плоскость и — прямую, образованную пересечением плоскостей и . Ясно, что . Отметим на прямой точки и так, что и точка является серединой отрезка (точки и лежат по одну сторону относительно прямой в плоскости ). Четырёхугольник является равнобедренной трапецией (поскольку точки и симметричны относительно прямой точкам и соответственно). Из тех же соображений симметрии отрезки и пересекаются на отрезке . Обозначим эту точку пересечения. Мы покажем, что точка — это и есть искомая точка из условия.

Треугольники и равны, так как , и сторона — общая. Значит, . Аналогично . Таким образом

Пусть теперь — произвольная точка в тетраэдре . Обозначим — основание перпендикуляра из точки на плоскость , а — основание перпендикуляра из точки на прямую . Тогда ясно, что и , поэтому . Точки , , , лежат в одной плоскости, и точка лежит на серединном перпендикуляре к . Обозначим точку, симметричную относительно прямой . Тогда точки

, , лежат на одной прямой, так что . По неравенству треугольника . Таким образом, . Аналогично .

Итак, мы выяснили, что . Значит, есть искомая точка, и осталось найти значение выражения . Из соображений симметрии . Далее, по теореме Пифагора

Снова применим теорему Пифагора

Отрезок является медианой треугольника . По формуле, выражающей длину медианы через длины сторон треугольника, получаем

Значит, , и ответ на задачу равен .