ВсОШ 2026, 10 класс, задача 3

Очень сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2026, 10 класс

( баллов) В остроугольном треугольнике провели высоту . Вписанные окружности треугольников и касаются в точках и соответственно и касаются в точках и соответственно. Пусть прямые и пересекаются в точке . Найдите площадь треугольника , если известно, что , а периметр треугольника равен .

Ответ

Ответ: .

Решение. Заметим, что треугольники и прямоугольные и равнобедренные. Отсюда следует, что треугольник также прямоугольный и равнобедренный.

Рис. 23

Отрезок , , откуда

Поскольку треугольник равнобедренный и прямоугольный с гипотенузой , то

Верное решение.

Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 2

(7 баллов) В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=10, BC=12 отметили точку M — середину стороны CD. На отрезке BM отметили точку P так, что BC=BP. Найдите площадь четырехугольника ABPD.

Очень сложная

Планиметрия

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 5

(7 баллов) Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что AX=CD и angle BXD=angle CDA. Найдите BX, если известно, что AB=8, BC=10, CD=3.

Очень сложная

Планиметрия

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 7

(7 баллов) В остроугольном треугольнике провели высоту BH. На дуге AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точку B, отметили такую точку X такую, что BX=BC. Прямая, проходящая через X параллельно AB, пересекает отрезки AC и BC в точках P и Q. Найдите длину отрезка PQ, если AB=7, AC=1

Очень сложная

Планиметрия

ВсОШ 2025, 11 класс, задача 8

(4 баллов) Дан тетраэдр ABCD. Известно, что AD=BC=10, AC=BD=11, AB=9 и CD=13. Борис выбирает точку X внутри тетраэдра и считает сумму AX+BX+CX+DX. Какое наименьшее значение он может получить?

Очень сложная

Стереометрия