ВсОШ 2026, 11 класс, задача 7

Очень сложная

Источник:

Всероссийская олимпиада школьников, Муниципальный (7–11 классы), 2026, 11 класс

( баллов) В остроугольном треугольнике провели высоту . На дуге описанной окружности треугольника , не содержащей точку , отметили такую точку такую, что . Прямая, проходящая через параллельно , пересекает отрезки и в точках и . Найдите длину отрезка , если , , .

Ответ

Ответ: .

Решение. Отметим точку повторного пересечения прямой с описанной окружностью треугольника . Поскольку — вписанная трапеция, то . Заметим, что поскольку , то тогда — также вписанная трапеция, причем . Заметим, что , поэтому треугольник равнобедренный. Опустим перпендикуляр из точки на прямую . Получим, что прямоугольные треугольники , , равны, откуда будет следовать, что .

Рис. 27

Далее, из подобия треугольников и получаем, что

Что означает, что

Верное решение.

Максимум: 7

Похожие задачи

ВсОШ 2026, 11 класс, задача 2

(7 баллов) В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=10, BC=12 отметили точку M — середину стороны CD. На отрезке BM отметили точку P так, что BC=BP. Найдите площадь четырехугольника ABPD.

Очень сложная

Планиметрия

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 3

(7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC провели высоту AD. Вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются AD в точках P и Q соответственно и касаются BC в точках X и Y соответственно. Пусть прямые PX и QY пересекаются в точке Z. Найдите площадь треугольника XYZ, если известно, что BC=22,

Очень сложная

Планиметрия

ВсОШ 2026, 10 класс, задача 5

(7 баллов) Во вписанном четырехугольнике ABCD на стороне AD отметили такую точку X, что AX=CD и angle BXD=angle CDA. Найдите BX, если известно, что AB=8, BC=10, CD=3.

Очень сложная

Планиметрия

ВсОШ 2025, 11 класс, задача 8

(4 баллов) Дан тетраэдр ABCD. Известно, что AD=BC=10, AC=BD=11, AB=9 и CD=13. Борис выбирает точку X внутри тетраэдра и считает сумму AX+BX+CX+DX. Какое наименьшее значение он может получить?

Очень сложная

Стереометрия