Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 2
В шахматном кружке провели турнир - каждый сыграл с каждым по одной партии. Оказалось, что для любой тройки участников среди результатов их взаимных партий есть хотя бы одна ничья и хотя бы одна игра с победителем. Какое наибольшее число игроков могло участвовать в турнире?
Ответ:
Решение. Допустим, что было или более игроков. Выберем одного, назовем его Игрок Играя против оставшихся игроков он либо сыграл не менее вничью, либо не менее раз не вничью. Допустим Игрок сыграл раза вничью с игроками По условию, какие-то двое из них сыграли вничью, допустим, это игроки и Тогда получается, что и сыграли друг с другом вничью, что противоречит условию задачи. Допустим теперь, что Игрок сыграл раза не вничью с игроками По условию, какие-то двое из них сыграли не вничью, допустим, это игроки и Тогда получается, что и сыграли друг с другом не вничью - противоречие. Пример с игроками легко строится: Пусть й выиграл у гой - у гой - у гой - у го и й - у го. А все остальные партии закончились вничью.