1. Олимпиады
  2. Покори Воро­бьёвы горы!

Заключительный этап

11 класс

Заключительный тур

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Покори Воробьёвы горы! 2024, 11 класс, задача 1

На испытаниях беспилотных летательных аппаратов лучшими оказались две модели. При встречном ветре 3 м/c модель Альфа продержалась в воздухе на 150 секунд меньше модели Бета, но пролетела на 500 метров дальше. Какая из моделей пролетит большее расстояние при безветренной погоде и на сколько? Скорость
Очень сложная
Уравнения

Покори Воробьёвы горы! 2024, 11 класс, задача 2

Найдите f(2024), если f(x)=|2x-1|-|2x-3|+6 при x∈[0;2] и, кроме того, при всех целых значениях x выполняются неравенства f(x+3)le f(x)+6 и f(x+2)ge f(x)+4.
Очень сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2024, 11 класс, задача 3

Решите уравнение 36cos(x+cos x)cos(x-cos x)+9=π2 и найдите сумму его корней, принадлежащих отрезку [(π/3);(7π/4)].
Очень сложная
Уравнения

Покори Воробьёвы горы! 2024, 11 класс, задача 4

В остроугольном треугольнике PVG обозначили точку пересечения высот через H, центр описанной окружности через O. Площади треугольников OHP и OHV равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника OHG.
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2024, 11 класс, задача 5

Кривая, заданная уравнением y=x2+px+q, пересекает ось Ox прямоугольной декартовой системы координат в точках A и B, а ось Oy - в точке C (все три точки различны). Известно, что точка D равноудалена от точек A, B и C, а сумма ее координат равна (-2023). Найдите минимально возможную при дан
Очень сложная
Алгебра
Геометрия

Покори Воробьёвы горы! 2024, 11 класс, задача 6

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение |2[operatorname{tg} a]-1|x=[operatorname{tg} a]2+2 имеет рациональное решение x. Здесь [t] - целая часть числа t.
Очень сложная
Алгебра

10 класс

Заключительный тур

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Покори Воробьёвы горы! 2024, 10 класс, задача 1

На испытаниях беспилотных летательных аппаратов лучшими оказались две модели. При встречном ветре 3 м/c модель Альфа продержалась в воздухе на 150 секунд меньше модели Бета, но пролетела на 500 метров дальше. Какая из моделей пролетит большее расстояние при безветренной погоде и на сколько? Скорость
Очень сложная
Уравнения

Покори Воробьёвы горы! 2024, 10 класс, задача 2

На бумажном правильном треугольнике со стороной 45 отметили 2023 красных точки. Можно ли на этом треугольнике разместить два правильных треугольника со стороной 1, не имеющих общих внутренних точек, так, чтобы внутри каждого из них не было ни одной красной точки?
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2024, 10 класс, задача 3

Найдите f(2024), если f(x)=|2x-1|-|2x-3|+6 при x∈[0;2] и, кроме того, при всех целых значениях x
Очень сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2024, 10 класс, задача 4

В остроугольном треугольнике LOM обозначили точку пересечения высот через H, центр описанной окружности через Q. Площади треугольников LQH и OQH равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника MQH.
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2024, 10 класс, задача 5

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение |2[operatorname{tg} a]-1|x=[operatorname{tg} a]2+2 имеет рациональное решение x. Здесь [t] - целая часть числа t.
Очень сложная
Алгебра

9 класс

Заключительный тур

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 1

На цветочном рынке Маша купила 156 хризантем, 312 тюльпанов и 390 роз. Какое наибольшее количество одинаковых букетов сможет составить Маша из этих цветов, чтобы все цветы были полностью израсходованы? (Букеты считаются одинаковыми, если в каждом из них одинаковое число цветов каждого наименования.)
Сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 2

В шахматном кружке провели турнир - каждый сыграл с каждым по одной партии. Оказалось, что для любой тройки участников среди результатов их взаимных партий есть хотя бы одна ничья и хотя бы одна игра с победителем. Какое наибольшее число игроков могло участвовать в турнире?
Сложная
Комбинаторика

Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 3

В выпуклом 2024-угольнике длины всех диагоналей не превосходят 1. Какое наибольшее количество сторон длины 1 может быть в этом 2024-угольнике? Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 4

Империя Горных гномов состоит из 2023 королевств, в каждом из королевств гномы добывают золото и алмазы. Верно ли, что всегда можно выбрать такие 1012 королевств, которые производят не менее 50% золота и не менее 50% алмазов (от общего производства империи)?
Сложная
Комбинаторика

Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 5

Сколько существует различных квадратных трехчленов f(x)=x2+px+q с целыми коэффициентами p, q, для которых выполнены два условия: 1) f(2023)=202524; 2) уравнение f(x)=0 имеет целый корень.
Сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 6

Робот-маляр пытается покрасить стену. Робот представляет из себя конечность из трёх деталей. Штанга AB длиной l перпендикулярна полу и может ездить от точки a до точки b (расстояние между a и b равно 2l). Вторая часть конечности, штанга BC длиной 2l, свободно поворачивается относительно шарнира B. П
Сложная
Планиметрия