Покори Воробьёвы горы! 2024, 11 класс, задача 5

Очень сложная

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Заключительный этап, 2024, 11 класс

Кривая, заданная уравнением , пересекает ось прямоугольной декартовой системы координат в точках и , а ось - в точке (все три точки различны). Известно, что точка равноудалена от точек , и , а сумма ее координат равна . Найдите минимально возможную при данных условиях длину отрезка .

Ответ: .

Решение. Из условия вытекает, что . Если обозначить , , , , то очевидно, что

Так как , то

Поэтому с учетом теоремы Виета:

Тогда из условия задачи имеем уравнение

По формуле корней квадратного уравнения,

откуда следует

Данное значение достигается при , .

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2023, 10 класс, задача 3

Числа x₁, x₂, x₃ являются корнями уравнения x³-6x²+7x-1=0. При каких значениях a, b, c корнями уравнения x³+ax²+bx+c=0 являются числа x₁+x₂, x₂+x₃ и x₃+x₁?

Очень сложная

Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2021, 11 класс, задача 3

Сколько корней имеет уравнение 2^lg(x²-3)=lg 2^x²-2?

Очень сложная

Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2023, 10 класс, задача 2

Из пункта A в пункт B по одной дороге с постоянными скоростями выехали велосипедист и мотоциклист. Один из них выехал в 13{:}00, а другой на час позже, при этом в пункт B они прибыли одновременно, хотя один из них сделал остановку в пути длительностью 2 часа. В котором часу они прибыли в B, если ско

Очень сложная

Алгебра

Уравнения

Покори Воробьёвы горы! 2021, 10-11 классы, задача 2

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение |x|-arcsin x+b · (arccos x+|x|-1)+a=0 при любом значении b имеет хотя бы одно решение.

Очень сложная

Алгебра