Покори Воробьёвы горы 2023, 10-11 классы, задача 3
Числа , , являются корнями уравнения . При каких значениях , , корнями уравнения являются числа , и ?
Ответ
Ответ: , , .
Решение. Так как , то можно доказать, что
(то же самое можно получить из теоремы Виета для кубического уравнения).
Аналогично для второго уравнения:
Из первого соотношения получаем .
Из второго соотношения:
Наконец,
Таким образом, второе уравнение имеет вид .
Можно поступить иначе. По условию второй многочлен равен
Отсюда сразу получается ответ.