1. Олимпиады
  2. Покори Воро­бьёвы горы!

Заключительный этап

11 класс

Заключительный тур

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Покори Воробьёвы горы! 2023, 11 класс, задача 1

Решите уравнение 1-√2sin x(cos x+2sin x)+√2cos x(2cos x-sin x)=2cos2(x-(π/8)).
Очень сложная
Алгебра
Уравнения

Покори Воробьёвы горы! 2023, 11 класс, задача 2

Из пункта A в пункт B по одной дороге с постоянными скоростями выехали велосипедист и мотоциклист. Один из них выехал в 13{:}00, а другой на час позже, при этом в пункт B они прибыли одновременно, хотя один из них сделал остановку в пути длительностью 2 часа. В котором часу они прибыли в B, если ско
Очень сложная
Алгебра
Уравнения

Покори Воробьёвы горы! 2023, 11 класс, задача 3

Числа x1, x2, x3 являются корнями уравнения x3-6x2+7x-1=0. При каких значениях a, b, c корнями уравнения x3+ax2+bx+c=0 являются числа x1+x2, x2+x3 и x3+x1?
Очень сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2023, 11 класс, задача 4

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника ABC, если AB=√(13).
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2023, 11 класс, задача 5

На сфере расположены точки A, B, C таким образом, что минимальные расстояния по поверхности сферы от точки A до точки B, от точки A до точки C и от точки B до точки C равны 6π, 8π и 10π соответственно. Найдите минимальный возможный при таких условиях периметр треугольника ABC.
Очень сложная
Тригонометрия
Стереометрия

Покори Воробьёвы горы! 2023, 11 класс, задача 6

Для натурального числа N выписали все его натуральные делители pl в порядке возрастания: 1=p12k=N. Обозначим количество натуральных делителей числа N через σ(N). Найдите все возможные значения σ(N3), если известно, что p3 · p4 · p
Очень сложная
Теория чисел

10 класс

Заключительный тур

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Покори Воробьёвы горы! 2023, 10 класс, задача 1

Решите уравнение 1-√2sin x(cos x+2sin x)+√2cos x(2cos x-sin x)=2cos2(x-(π/8)).
Очень сложная
Алгебра
Уравнения

Покори Воробьёвы горы! 2023, 10 класс, задача 2

Из пункта A в пункт B по одной дороге с постоянными скоростями выехали велосипедист и мотоциклист. Один из них выехал в 13{:}00, а другой на час позже, при этом в пункт B они прибыли одновременно, хотя один из них сделал остановку в пути длительностью 2 часа. В котором часу они прибыли в B, если ско
Очень сложная
Алгебра
Уравнения

Покори Воробьёвы горы! 2023, 10 класс, задача 3

Числа x1, x2, x3 являются корнями уравнения x3-6x2+7x-1=0. При каких значениях a, b, c корнями уравнения x3+ax2+bx+c=0 являются числа x1+x2, x2+x3 и x3+x1?
Очень сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2023, 10 класс, задача 4

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника ABC, если AB=√(13).
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2023, 10 класс, задача 5

Для натурального числа N выписали все его натуральные делители pl в порядке возрастания: 1=p12k=N. Обозначим количество натуральных делителей числа N через σ(N). Найдите все возможные значения σ(N3), если известно, что p3 · p4 · p
Очень сложная
Теория чисел

9 класс

Заключительный тур

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Покори Воробьёвы горы! 2023, 9 класс, задача 1

Найдите все пары простых чисел p и q, для которых выполнено равенство pq-qp+3=2p-1. Напоминаем, что «простыми» называют натуральные числа, отличные от 1, которые делятся только на 1 и на само себя.
Сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2023, 9 класс, задача 2

В городе 10 проспектов и 23 улицы, которые образуют прямоугольную сетку: все улицы параллельны между собой и все проспекты перпендикулярны улицам (см. рис.). Точку пересечения улицы и проспекта будем называть "перекрестком". Городские власти проводят дорожные работы на некоторых участках дороги (отр
Сложная
Комбинаторика

Покори Воробьёвы горы! 2023, 9 класс, задача 3

На кухне лежит пакет с пакетами. Каждый из пакетов либо пустой (не содержит других пакетов), либо содержит ровно 5 пакетов (в некоторых из них могут быть другие пакеты). Определите, сколько всего пакетов, если известно, что 101 пакет пустой.
Сложная
Комбинаторика

Покори Воробьёвы горы! 2023, 9 класс, задача 4

Дана последовательность чисел, члены которой удовлетворяют соотношению: bn · bn-23=bn-3 · bn-13 при всех n=4,5,6,ldots Найдите b2023, если известно, что b1=2, b2=1, b3=2.
Сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2023, 9 класс, задача 5

Алиса и Боря по очереди зачеркивают буквы в надписи «Покори Воробьевы горы». За ход разрешается зачеркнуть одну букву или несколько одинаковых букв (большие и маленькие буквы не различаются). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Алиса ходит первой. Есть ли у одного из игроков стратегия, гарант
Сложная
Комбинаторика

Покори Воробьёвы горы! 2023, 9 класс, задача 6

Через концы дуги widehat{AB}, угловая величина которой равна 60circ, проведены параллельные хорды BC и AD, причем длина BC в четыре раза меньше длины AD. Хорды AB и CD продолжены до пересечения в точке E. Найдите площадь треугольника AED, если известно, что |AC|=30.
Сложная
Планиметрия