Покори Воробьёвы горы! 2023, 10 класс, задача 4

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2023, 10 класс

В треугольнике биссектриса и медиана равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника , если .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. Пусть , . Так как - высота и биссектриса треугольника , то этот треугольник равнобедренный, поэтому , , и по формуле для длины биссектрисы (здесь ):

то есть

Из треугольника получаем .

Значит, , , , .

Площадь треугольника равна

Возможны и другие способы решения. Например, в треугольнике известны две стороны и . Обозначим , . После этого выразим через биссектрису (формула ) и медиану и приравняем их. Находим , а после этого площадь либо по формуле Герона, либо с помощью теоремы косинусов.

Рисунок к решению

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2022, 11 класс, задача 3

Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник ABCD с наименьшим периметром, в котором AB=BC=CD и все попарные расстояния между точками A, B, C и D выражаются целыми числами. Чему при этом равен радиус описанной вокруг ABCD окружности?
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьевы горы! 2026, 11 класс, задача 3

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, угол A - прямой, AC=AD. На стороне AB выбрана точка M так, что MC пересекает BD в точке N, BM=BN=AD. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если DC=6.
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2022, 10 класс, задача 4

Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник ABCD с наименьшим периметром, в котором AB=BC=CD и все попарные расстояния между точками A, B, C и D выражаются целыми числами. Чему равна площадь этого четырёхугольника?
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2024, 10 класс, задача 2

На бумажном правильном треугольнике со стороной 45 отметили 2023 красных точки. Можно ли на этом треугольнике разместить два правильных треугольника со стороной 1, не имеющих общих внутренних точек, так, чтобы внутри каждого из них не было ни одной красной точки?
Очень сложная
Планиметрия