Покори Воробьёвы горы! 2022, 11 класс, задача 3
Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник с наименьшим периметром, в котором и все попарные расстояния между точками , , и выражаются целыми числами. Чему при этом равен радиус описанной вокруг окружности?
Ответ: .
Решение. Так как хорды и равны, то равны и дуги и , а значит, равны вписанные углы и . Это означает, что , и - трапеция с равными боковыми сторонами и . Пусть , , .
Высоту выразим по теореме Пифагора
после чего
Заметим, что это же можно было получить с помощью теоремы Птолемея:
Таким образом, , где , , - натуральные числа. Кроме того, , то есть .
Если , то , и уравнение целых решений не имеет.
Если , то , и уравнение целых решений не имеет.
Если , то , и уравнение целых решений не имеет.
Если , то , и уравнение имеет единственное целое решение , . Тогда периметр равен .
При периметр будет больше , так как если , то . Но тогда или , , или , - то и другое невозможно.
Итак, , , , периметр равен . Тогда высота трапеции равна
синус угла при основании равен
а искомый радиус находится по теореме синусов