Покори Воробьёвы горы! 2021, 11 класс, задача 5
Бумажный квадрат площади согнули по прямой, проходящей через его центр, после чего соприкасающиеся части склеили. Найдите максимально возможную площадь получившейся бумажной фигуры.
Ответ: .
Решение. Обозначим сторону квадрата через . Пусть прямая отсекает от стороны квадрата отрезок (рис. ).
Получившаяся конфигурация симметрична относительно прямой . С другой стороны, квадрат получен из квадрата путем поворота относительно центра квадрата. Тогда . Поэтому прямоугольные треугольники , , , равны.
Таким образом, площадь получившейся фигуры равна сумме площадей прямоугольной трапеции и двух равных прямоугольных треугольников и .
Площадь трапеции равна . Значит, нам нужно найти максимальную площадь прямоугольного треугольника , периметр которого равен . Но максимальная площадь прямоугольного треугольника с заданным периметром будет у равнобедренного треугольника.
Это необходимо доказать. Например, обозначив катеты треугольника и , а гипотенузу , запишем периметр . Используя неравенство Коши,
получаем, что
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда .
Можно также сделать этот вывод из чисто геометрических соображений: если в прямой угол вписать окружность радиуса , то эта окружность будет вневписанной для всех прямоугольных треугольников с периметром и катетами и , расположенными на сторонах угла. Так как периметр задан, то наибольшая площадь будет у треугольника с наибольшим радиусом вписанной окружности. А этот радиус будет максимальным, когда вписанная окружность касается вневписанной (если радиус будет больше, то эти две окружности пересекутся, что невозможно), то есть когда треугольник равнобедренный.
Итак, , . Тогда , откуда
и площадь равна
Значит, искомая площадь есть
Здесь возможны и другие способы решения. Например, алгебраическое решение. Пусть сторона квадрата равна , и прямая отсекает от стороны квадрата отрезок . Найдем . Обозначим , . Поскольку из треугольника (здесь это проекция точки на основание ) находим
то
и
Следовательно катеты прямоугольных треугольников равны и . Откуда искомая площадь равна
С помощью производной можно получить, что максимум функции
достигается при , что соответствует углу , , .
Критерии. Здесь полный балл ставился только в случае полностью правильно обоснованного нахождения максимума и правильного ответа.